Statistika ( Bab 5 )

TUGAS STATISTIKA "MOMEN,KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS"

MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

A.    Momen

Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’r didefinisikan oleh

Dengan

n =

,

Xi

= tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.

Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:

m’_r =  , P = Panjang kelas, C = Variabel koding.

Dari m’_r harga-harga m_r dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

m₂ = m₂’ – (m₁’)²

m₃ = m₃’ – 3m₁’ + m₂ + 2(m₁’)³

m₄ = m₄’ – 4m₁’ + 6 (m₁’) m₂ – 3 (m₁’)

Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:

TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m

Data	f1	Ci	f1Ci	f1C12	f1C13	f1C14
60 – 63 64 – 67 68 – 71 72 – 75 76 – 70	5 18 42 27 8	-2 -1 0 1 2	-10 -18 0 27 16	20 18 0 37 42	-40 -18 0 27 64	80 18 0 27 128
Jumlah	100		15	97	35	253

Dapat dihitung:

m₁ =

m₂ =

m₃ =

m₄ =

Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:

m₂ = m₂’ – (m₁’)² = 15,52 – 0,36 = 15,16

m₃ = m₃’ – 3m₁’ m₂’ + 2(m₁’)³ = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456

m₄ = m₄’ – 4m₁’ m₃’ + 6 (m₁’)² (m₂’)........... =  40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6²x15,52 – 3x0,4² = 60,9424 Jadi Varian S² = m₂ = 15,16

B.     Kemiringan

Kita sudah mengenal kurva halus atau model yang bentuknya bisapositif, negatif atau simetrik. Model positif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan. Sebaliknya, jika ekornya memanjang ke sebelah kiri didapat model negatif. Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh :

Kemiringan =	Rata-rata - Modus
	Simpangan Baku

Rumus empirik untuk kemiringan, adalah :

Kemiringan  =	3 (Rata-rata - Modus)
	Simpangan Baku

Rumus-rumus berturut-turut dinamakan koefisien kemiringan pearson tipe pertama dan kedua.

Kita katakan model positif jika kemiringan positif, negatif jika kemiringan negatif dan simetrik jika kemiringan sama dengan nol.

Contoh :  Data nilai ujian 80 mahasiswa telah menghasilkan rata-rata 76,62; Me = 77,3; Mo = 77,17 dan simpangan baku s = 13,07.

Kemiringan  =	76,62 - 77,17	= -0,04
	13,07

                 

                       

Karena kemiringan negatif dan dekat kepada nol maka modelnya sedikit miring ke kiri.

C.    KURTOSIS

Kurtosis adalah Ukuran kelancipan distribusi data dimanadistribusi normal sebagai pembanding. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakan mesokurtik, kurva yang runcing dinamakan leptokurtiksedangkan yang datar disebut platikurtik. Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a₄,ditentukan dengan rumus a₄ = (m₄/m)

Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:

a.      a₄ = 3    à        Distribusi normal

b.      a₄ > 3    à        Distribusi yagn leptokurtik

c.       a₄ < 3     à        Distribusi yang platikurtik

Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:

κ =

SK = rentang semi antar kuartil

K3 = kuartik ketiga

K1 = kuartil kedua

P10 = persentil kesepuluh

P90 = persentil ke 90

Untuk distribusi normal, harga κ  = 0,263

Untuk contoh di atas telah di dapat m₄ = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga besarnya koefisien kurtosis a₄ = (m₄/m ) = 60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.

Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien kurtosis persentil besarnya:

κ = 

Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:

No	Nilai Ujian	Fi
1 2 3 4 5 6 7	31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	3 5 10 16 24 17 5
	Jumlah	80

Dengan menggunakan rumus Pi = b + P dimana P = panjang kelas dapat dihitung P10 dan P90. P10 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b = 40,5, P = 10; F = 3 f = 5

P10 = 40,5 + 10 = 50,5

P90 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval keenam, sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f = 17

P90 = 80,5 + 10 = 81,32

Sumber : Sudjana. (2002). In Metode Statistika. Bandung: Tarsito.

Diposkan oleh mulyanto abadi di 02.03 

TUGAS STATISTIKA BAB 4 .ARIF KURNIA R

Tugas Statistika Bab 4

TUGAS STATISTIKA "UKURAN PENYIMPANGAN"

Pengukuran Penyimpangan

( Range, Deviasi, Varian )

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi  rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

1.      Jangkauan (range)

2.      Simpangan rata-rata (mean deviation)

3.      Simpangan baku (standard deviation)

4.      Varians (variance)

5.      Koefisien variasi (Coefficient of variation)

       I.            Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh : 

Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa

A = 60 55 70 65 50 80 40

B = 50 55 60 65 70 65 55

C = 60 60 60 60 60 60 60

Dari data diatas dapat diketahui bahwa

A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60

B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60

C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :

a.       Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya

b.      Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya

c.       Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representative.

d.      Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representative

    II.            Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

·         Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

·         Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

·         Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :

Dari tabel diperoleh 

 III.            Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

·         untuk data sample menggunakan rumus

·         untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh  :

Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab :

Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.

Kita cari dulu rata-ratanya

rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

·         untuk sample menggunakan rumus

·         untuk populasi menggunakan rumus.

Contoh :
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya

1.      Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2.      Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

 IV.            Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:

σ² = varians atau ragam untuk populasi

S² = varians atau ragam untuk sampel

f_i = Frekuensi

x_i = Titik tengah

x¯ = Rata-rata (mean) sampel dan   μ = rata-rata populasi

n =  Jumlah data

    V.            Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

Daftas Pustaka :

·         Suharyadi, & Purwanto. (2009). In Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta: Salemba Empat.

·         Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.

·         http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html

·         http://rumushitung.com/2013/04/05/rumus-simpangan-baku/

·         http://digensia.wordpress.com/2012/03/15/statistik-deskriptif/

·         http://okemath.com/?page_id=394