TUGAS STATISTIKA "UKURAN PEMUSATAN DATA"
STATISTIKA BAB 3
UKURAN PEMUSATAN DATA
Salah satu aspek yang paling penting untuk
menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (tendensi
sentral). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan
suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data
(himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran tendensi sentral.
Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan,
yaitu:
[ Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)
[ Median
[ Mode
A. Mean (arithmetic mean)
Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut
dengan istilah meansaja merupakan metode yang paling banyak
digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan
menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya
data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan
persamaan berikut:
Sampel:
Populasi:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data
pengamatan
n = banyaknya sampel data
N = banyaknya data populasi
= nilai rata-rata sampel
μ = nilai rata-rata populasi
Mean dilambangkan
dengan (dibaca “x-bar”) jika kumpulan data ini merupakancontoh (sampel)
dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi,
mean dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu).
Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf
Inggris, , sementaraparameter-parameter populasi biasanya dilambangkan dengan
huruf Yunani, misalnya μ
a. Rata-rata hitung (Mean) untuk data
tunggal
Contoh 1:
Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU
berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab:
Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung
dengan menggunakan formula berikut:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
fi = frekuensi data ke-i
n = banyaknya sampel data
= nilai rata-rata sampel
Contoh 2 :
Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut:
|
xi
|
fi
|
|
70
|
5
|
|
69
|
6
|
|
45
|
3
|
|
80
|
1
|
|
56
|
1
|
Catatan: Tabel frekuensi pada
tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel
frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.
Jawab:
|
xi
|
fi
|
fixi
|
|
70
|
5
|
350
|
|
69
|
6
|
414
|
|
45
|
3
|
135
|
|
80
|
1
|
80
|
|
56
|
1
|
56
|
|
Jumlah
|
16
|
1035
|
b. Mean dari data distribusi Frekuensi atau dari gabungan:
Distribusi Frekuensi:
Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel
distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan
formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan,
yaitu:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
fi = frekuensi data ke-i
= nilai rata-rata sampel
Contoh 3:
Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang
sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3
ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan
berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
|
1
|
31 – 40
|
2
|
|
2
|
41 – 50
|
3
|
|
3
|
51 – 60
|
5
|
|
4
|
61 – 70
|
13
|
|
5
|
71 – 80
|
24
|
|
6
|
81 – 90
|
21
|
|
7
|
91 – 100
|
12
|
|
Jumlah
|
80
|
Jawab:
Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai
pewakilnya (xi) dan hitung fixi.
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
xi
|
fixi
|
|
1
|
31 – 40
|
2
|
35.5
|
71.0
|
|
2
|
41 – 50
|
3
|
45.5
|
136.5
|
|
3
|
51 – 60
|
5
|
55.5
|
277.5
|
|
4
|
61 – 70
|
13
|
65.5
|
851.5
|
|
5
|
71 – 80
|
24
|
75.5
|
1812.0
|
|
6
|
81 – 90
|
21
|
85.5
|
1795.5
|
|
7
|
91 – 100
|
12
|
95.5
|
1146.0
|
|
Jumlah
|
80
|
6090.0
|
Catatan: Pendekatan perhitungan
nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat
dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data
aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan
untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.
Rata-rata Gabungan atau rata-rata terboboti (Weighted
Mean)
Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled
mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk
menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.
Contoh 4:
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya
145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?
Jawab:
B. Median
Median dari n pengukuran atau pengamatan x1,
x2 ,..., xn adalah nilai pengamatan yang
terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila
banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus
data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara
interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data.
Dengan demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi dua bagian yang
sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan 50% lagi terletak
di atas median. Median sering dilambangkan dengan (dibaca
"x-tilde") apabila sumber datanya berasal dari sampel(dibaca
"μ-tilde") untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh
nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka. Prosedur untuk
menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti
salah satu prosedur berikut ini:
v Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang
berada tepat di tengah gugus data
v Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata
dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data
a. Median data tunggal:
Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu kita
harus mengetahui letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat ditentukan
dengan menggunakan formula berikut:
dimana n = banyaknya data pengamatan.
Median apabila n ganjil:
Contoh 5:
Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut
ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Jawab:
alt="*" v:shapes="_x0000_i1025"> data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10'
alt="*" v:shapes="_x0000_i1026">
setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9;
10 banyaknya data (n) = 11 posisi Me = ½(11+1) = 6 jadi Median = 7 (data yang terletak pada urutan
ke-6)|
Nilai Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Urutan data ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
↑
|
Median apabila n genap:
Contoh 6:
Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut
ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
Jawab:
v data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
v setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
v banyaknya data (n) = 10
v posisi Me = ½(10+1) = 5.5
v Data tengahnya: 6 dan 7
v jadi Median = ½ (6+7) = 6.5 (rata-rata dari 2
data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)
|
Nilai Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
||||||||
|
Urutan data ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
||||||||
|
↑
|
||||||||||||||||||
b. Median dalam distribusi frekuensi:
Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi
adalah sebagai berikut:
b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung
unsur atau memuat nilai median
p = panjang kelas median
n = ukuran sampel/banyak data
f = frekuensi kelas median
F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari
kelas median (∑fi)
Contoh 7:
Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh
3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
fkum
|
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
2
|
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
5
|
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
10
|
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
23
|
|
|
5
|
71 - 80
|
24
|
47
|
←letak kelas median
|
|
6
|
81 - 90
|
21
|
68
|
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
80
|
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
› Letak kelas median:
Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80)
› b = 70.5, p = 10
› n = 80, f = 24
› f = 24 (frekuensi kelas
median)
› F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23
C. Mode
Mode adalah data yang
paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam
urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang
frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik
untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak
dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu
gugus data:
¯ Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode,
maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.
¯ Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari
dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal.
¯ Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat
mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus.
Meskipun suatu gugus
data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data
kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.
\ Untuk gugus data yang distribusinya simetris,
nilai mean, median dan modus semuanya sama.
\ Untuk distribusi miring ke kiri (negatively
skewed): mean < median < modus
\ untuk distribusi miring ke kanan (positively
skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median > modus.
Hubungan antara ketiga
ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal, namun
hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut:
Mean - Mode = 3 (Mean -
Median)
a. Modus Data Tunggal:
Contoh 8:
Berapa modus dari nilai
ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Jawab:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang
sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga Modus (M) = 7 2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6
dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7.
Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Karena ke-2
mode tersebut nilainya berurutan, mode sering dihitung dengan menghitung nilai
rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5. 2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6
dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8.
Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Nilai mode
tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak berurutan. 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 5, 6
dan 7 (masing-masing muncul 2 kali), sehingga Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan
7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal karena modusnya lebih dari dua. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada gugus data
tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu kali, sehingga
gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya
b. Mode dalam Distribusi Frekuensi:
dimana:
Mo = modal = kelas yang
memuat modus
b = batas bawah kelas
modal
p = panjang kelas modal
bmo =
frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi)
b1= bmo –
bmo-1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya
b2 = bmo –
bmo+1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya
Contoh 9:
Tentukan nilai median
dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
|
|
→ b1 = (24 – 13) = 11
|
|||
|
5
|
71 - 80
|
24
|
← kelas modal (frekuensinya paling
besar)
|
|
→ b2 =(24 – 21) =3
|
|||
|
6
|
81 - 90
|
21
|
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
[ Kelas modul =kelas ke-5
[ b = 71-0.5 = 70.5
[ b1 = 24 -13 = 11
[ b2 = 24 – 21 = 3
[ p = 10
Selain tiga ukuran
tendensi sentral di atas (mean, median, dan mode), terdapat ukuran tendensi
sentral lainnya, yaitu rata-rata ukur (Geometric Mean) dan rata-rata
harmonis (Harmonic Mean)
D. Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
Untuk gugus data positif
x1, x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar
ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat
dinyatakan dengan formula berikut:
Dimana: U = rata-rata
ukur (rata-rata geometrik) n = banyaknya sampel Π = Huruf kapital π (pi) yang
menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data. Rata-rata geometrik sering
digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan,
rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap
atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.
a. Rata-rata ukur untuk data tunggal
Contoh 10:
Berapakah rata-rata ukur
dari data 2, 4, 8?
Jawab:
atau:
b. Distribusi Frekuensi:
xi = tanda kelas (nilai
tengah)
fi = frekuensi yang
sesuai dengan xi
Contoh 11:
Tentukan rata-rata ukur
dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab
|
Kelas
ke-
|
Nilai
Ujian
|
fi
|
xi
|
log xi
|
fi.log
xi
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
35.5
|
1.5502
|
3.1005
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
45.5
|
1.6580
|
4.9740
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
55.5
|
1.7443
|
8.7215
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
65.5
|
1.8162
|
23.6111
|
|
5
|
71 - 80
|
24
|
75.5
|
1.8779
|
45.0707
|
|
6
|
81 - 90
|
21
|
85.5
|
1.9320
|
40.5713
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
95.5
|
1.9800
|
23.7600
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
149.8091
|
E. Rata-rata Harmonik (H)
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2,
…, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik
mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini
hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik
sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang
menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
· Rata-rata harmonic untuk data tunggal
Contoh 12:
Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan
dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah
rata-rata kecepatan pulang pergi?
Jawab:
Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan
kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan
rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:
· Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:
Contoh 13:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada
Contoh 3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
xi
|
fi/xi
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
35.5
|
0.0563
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
45.5
|
0.0659
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
55.5
|
0.0901
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
65.5
|
0.1985
|
|
5
|
71 - 80
|
24
|
75.5
|
0.3179
|
|
6
|
81 - 90
|
21
|
85.5
|
0.2456
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
95.5
|
0.1257
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
1.1000
|
Perbandingan Ketiga Rata-rata (Mean):
Karakteristik penting untuk ukuran tendensi
sentral yang baik
Ukuran nilai pusat/tendensi sentral (average) merupakan
nilai pewakil dari suatu distribusi data, sehingga harus memiliki sifat-sifat
berikut:
\ Harus mempertimbangkan semua gugus data
\ Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai
ekstrim.
\ Harus stabil dari sampel ke sampel.
\ Harus mampu digunakan untuk analisis statistik
lebih lanjut.
Dari beberapa ukuran nilai pusat, Mean hampir memenuhi semua
persyaratan tersebut, kecuali syarat pada point kedua, rata-rata dipengaruhi
oleh nilai ekstrem. Sebagai contoh, jika item adalah 2; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8;
9 maka mean, median dan modus semua bernilai sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir
adalah 90 bukan 9, rata-rata akan menjadi 14.10, sedangkan median dan modus
tidak berubah. Meskipun dalam hal ini median dan modus lebih baik, namun tidak
memenuhi persyaratan lainnya. Oleh karena itu Mean merupakan ukuran nilai pusat
yang terbaik dan sering digunakan dalam analisis statistik.
Kapan kita menggunakan nilai tendensi sentral yang berbeda?
Nilai ukuran
Bila distribusi frekuensi data tidak
normal (tidak simetris), medianatau modus merupakan
ukuran pusat yang tepat. Apabila terdapat nilai-nilai ekstrim,
baik kecil atau besar, lebih tepat menggunakan median atau modus. Apabila distribusi data normal (simetris),
semua ukuran nilai pusat, baik mean, median, atau modus dapat digunakan.
Namun, mean lebih sering digunakan dibanding yang lainnya
karena lebih memenuhi persyaratan untuk ukuran pusat yang
baik. Ketika kita berhadapan dengan laju,
kecepatan dan harga lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik.
alt="*" v:shapes="_x0000_i1044"> Jika kita tertarik pada perubahan
relatif, seperti dalam kasus pertumbuhan bakteri, pembelahan sel dan
sebagainya, rata-rata geometrik adalah rata-rata yang paling
tepat
Referensi:
· Mario Triola. 2004. Elementary Statistics. 9th Edition.
Pearson Education.
· Stephen Bernstein and Ruth Bernstein. 1999.
Elements of Statistics I: Descriptive Statistics and Probability. The
McGraw-Hill Companies, Inc
· Web:
o Indian Agricultural Statistics Research
Institute: http://www.iasri.res.in/
Diposkan oleh mulyanto
abadi di 01.58
Tidak ada komentar:
Posting Komentar